Aljabar Linear Contoh

$[\begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 2 & - 4 \end{array}]$

Langkah 1

Gunakan rumus untuk menentukan persamaan karakteristik $p (λ)$ .

$p (λ) = determinan (A - λ I_{2})$

Langkah 2

Matriks satuan atau matriks satuan dengan ordo $2$ adalah matriks persegi $2 \times 2$ dengan bilangan satu di diagonal utama dan nol di elemen lainnya.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Langkah 3

Substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam $p (λ) = determinan (A - λ I_{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $[\begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 2 & - 4 \end{array}]$ untuk $A$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 2 & - 4 \end{array}] - λ I_{2})$

Langkah 3.2

Substitusikan $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ untuk $I_{2}$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 2 & - 4 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Kalikan $- λ$ dengan setiap elemen di dalam matriks tersebut.

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 2 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan setiap elemen dalam matriks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 2 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.2

Kalikan $- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.2.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 2 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.2.2

Kalikan $0$ dengan $λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 2 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.3

Kalikan $- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.3.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 2 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.3.2

Kalikan $0$ dengan $λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 2 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 2 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Langkah 4.2

Tambahkan elemen yang seletak.

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 3 - λ & 4 + 0 \\ - 2 + 0 & - 4 - λ \end{array}]$

Langkah 4.3

Simplify each element.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Tambahkan $4$ dan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 3 - λ & 4 \\ - 2 + 0 & - 4 - λ \end{array}]$

Langkah 4.3.2

Tambahkan $- 2$ dan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 3 - λ & 4 \\ - 2 & - 4 - λ \end{array}]$

Langkah 5

Find the determinant.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Determinan dari matriks $2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (3 - λ) (- 4 - λ) - (- 2 \cdot 4)$

Langkah 5.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Perluas $(3 - λ) (- 4 - λ)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1.1

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = 3 (- 4 - λ) - λ (- 4 - λ) - (- 2 \cdot 4)$

Langkah 5.2.1.1.2

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = 3 \cdot - 4 + 3 (- λ) - λ (- 4 - λ) - (- 2 \cdot 4)$

Langkah 5.2.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = 3 \cdot - 4 + 3 (- λ) - λ \cdot - 4 - λ (- λ) - (- 2 \cdot 4)$

Langkah 5.2.1.2

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.2.1.1

Kalikan $3$ dengan $- 4$ .

$p (λ) = - 12 + 3 (- λ) - λ \cdot - 4 - λ (- λ) - (- 2 \cdot 4)$

Langkah 5.2.1.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$p (λ) = - 12 - 3 λ - λ \cdot - 4 - λ (- λ) - (- 2 \cdot 4)$

Langkah 5.2.1.2.1.3

Kalikan $- 4$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = - 12 - 3 λ + 4 λ - λ (- λ) - (- 2 \cdot 4)$

Langkah 5.2.1.2.1.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$p (λ) = - 12 - 3 λ + 4 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 2 \cdot 4)$

Langkah 5.2.1.2.1.5

Kalikan $λ$ dengan $λ$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.2.1.5.1

Pindahkan $λ$ .

$p (λ) = - 12 - 3 λ + 4 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 2 \cdot 4)$

Langkah 5.2.1.2.1.5.2

Kalikan $λ$ dengan $λ$ .

$p (λ) = - 12 - 3 λ + 4 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 2 \cdot 4)$

Langkah 5.2.1.2.1.6

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = - 12 - 3 λ + 4 λ + 1 λ^{2} - (- 2 \cdot 4)$

Langkah 5.2.1.2.1.7

Kalikan $λ^{2}$ dengan $1$ .

$p (λ) = - 12 - 3 λ + 4 λ + λ^{2} - (- 2 \cdot 4)$

Langkah 5.2.1.2.2

Tambahkan $- 3 λ$ dan $4 λ$ .

$p (λ) = - 12 + λ + λ^{2} - (- 2 \cdot 4)$

Langkah 5.2.1.3

Kalikan $- (- 2 \cdot 4)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.3.1

Kalikan $- 2$ dengan $4$ .

$p (λ) = - 12 + λ + λ^{2} - - 8$

Langkah 5.2.1.3.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 8$ .

$p (λ) = - 12 + λ + λ^{2} + 8$

Langkah 5.2.2

Tambahkan $- 12$ dan $8$ .

$p (λ) = λ + λ^{2} - 4$

Langkah 5.2.3

Susun kembali $λ$ dan $λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} + λ - 4$

Langkah 6

Atur polinomial karakteristiknya agar sama dengan $0$ untuk menemukan nilai eigen $λ$ .

$λ^{2} + λ - 4 = 0$

Langkah 7

Selesaikan $λ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 7.2

Substitusikan nilai-nilai $a = 1$ , $b = 1$ , dan $c = - 4$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $λ$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 4)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$λ = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.3.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$λ = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.3.1.2.2

Kalikan $- 4$ dengan $- 4$ .

$λ = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 16}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.3.1.3

Tambahkan $1$ dan $16$ .

$λ = \frac{- 1 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.3.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$λ = \frac{- 1 \pm \sqrt{17}}{2}$

Langkah 7.4

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$λ = - \frac{1 - \sqrt{17}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{17}}{2}$

Langkah 8

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$λ = - \frac{1 - \sqrt{17}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{17}}{2}$

Bentuk Desimal:

$λ = 1.56155281 \dots, - 2.56155281 \dots$